Лекция №4 Картографические проекции, их виды и свойства

(2 часа)

План:

4.1 Картографические проекции и виды искажений

4.2 Эллипс искажений, изоколы  

4.1 Картографические проекции и виды искажений

Картографической проекцией называется математически определенный способ отображения поверхности земного эллипсоида на плоскости. Он устанавливает функциональную зависимость между географическими координатами точек поверхности земного эллипсоида (широтой B и долготой L) и прямоугольными координатами X и Y этих точек на плоскости (карте), т.е.

X=f₁(B,L) и Y=f₂(B,L).

Придавая функциям f₁ и f₂ конкретное выражение, получаем определенную картографическую проекцию, в которой можно вычислить прямоугольные  координаты X и Y всех точек пересечения меридианов и параллелей, а по ним построить координатную сетку. Одновременно можно вычислить и прямоугольные координаты пунктов плановой основы, а по ним нанести сами опорные пункты. Компьютерные технологии позволяют рассчитывать проекции с заданными свойствами.

Исходная аксиома при изыскании любых картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность Земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскости карты без искажений. Неизбежно возникают деформации — сжатия и растяжения, различные по величине и направлению. Именно поэтому на карте возникает непостоянство масштабов длин и площадей.

Все картографические проекция имеют искажения. Иногда они очень заметны, например, очертания материков становятся непривычно вытянутыми или сплющенными. Некоторые части изображения словно раздуты, другие — деформированы. Есть карты, на которых Гренландия выглядит больше, чем Южная Америка, хотя в действительности она меньше ее в восемь с лишним раз, а Антарктида иногда вообще занимает весь юг карты. Искажаются не только размеры, но и формы объектов.

Рис. 4.1.

На рис. дан контур России в  разных проекциях. Видно, что в одном случае очертания Чукотки как бы опущены книзу, в другом — «задраны» кверху, На самом же деле, именно на Таймыре находится северная оконечность России — мыс Челюскин. В картографических проекциях могут присутствовать следующие виды искажений

♦          искажения длин — вследствие этого масштаб карты непостоянен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены;

♦          искажения площадей — масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искажений длин и нарушает размеры объектов;

♦          искажения углов — углы между направлениями на карте искажены относительно тех же углов на местности;

♦          искажения форм — фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с искажениями углов.

4.2 Эллипс искажений, изоколы

Любая бесконечно малая окружность на шаре (эллипсоиде) предстает на карте бесконечно малым эллипсом — его называют эллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров. Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и углов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и параллели — направление наибольшего растяжения. Большая ось эллипса искажений характеризует направление наибольшего растяжения в данной точке, а малая ось — направление наибольшего сжатия, отрезки вдоль меридиана и параллели — соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану (m) и параллели (n).

Рис. 4.2. Эллипс искажений и его элементы

а— направление наибольшего растяжения масштаба; b — направление наи-большего сжатия масштаба; m — масштаб по меридиану; n— масштаб по параллели.

Осям эллипса на карте соответствуют два главных взаимоперпендикулярных диаметра, называемых главными направлениями, где наибольший масштаб а совпадает с направлением большой оси, а наименьший b – с направлением малой оси. При совпадении главных направлений с меридианами и параллелями a=m, b=n или a=n, b=m.

            Искажение длин линий (расстояний) связано и изменениями масштаба длин на одной и той же карте и выражается в том, что расстояния одинаковые на эллипсоиде, изображены на карте отрезками разной длины. Различают два вида масштаба длин: главный масштаб, который подписывается на карте, представляющий степень уменьшения поверхности земного эллипсоида перед последующим изображением его на плоскости и сохраняющийся в зависимости от применяемой картографической проекции в некоторых точках или линиях, называемых точками и линиями нулевых искажений и частный масштаб , представляющий отношение бесконечно малого отрезка в данной точке и по данному направлению к соответствующему бесконечно малому отрезку на эллипсоиде. Отношение частного масштаба к главному характеризует искажение длин μ (мю) в данной точке.

Искажение углов заключается в том, что, углы между направлениями на карте не равны соответствующим углам на эллипсоиде. Величина искажения угла в данной точке карты зависит от направления сторон угла. В качестве показателя искажения углов на карте принято наибольшее искажение ω(омега). В любой точке карты всегда имеется угол, изображающийся без искажения и равный 90º, который соответствует главным направлениям эллипса (осям) искажений. Для характеристики искажения углов на карте между меридианами и параллелями, которые на поверхности эллипсоида встречаются под прямым углом, используют его отклонения от 90º и обозначают греческой буквой ε (эпсилон), т.е. ε=θ-90º, где θ (тэта)– угол между касательными к меридиану и параллели в данной точке. При известных показателях a и b величину ω определяют по формуле:

Sin    =

Искажение углов и длин линий на карте вызывает искажение форм K , представляющее отношение большой полуоси эллипсоида к малой, или, что одно и то же, отношение наибольшего масштаба к наименьшему, т.е. .

K  =

Искажение площадей – масштаб площадей в разных местах карты различен, что связано с искажением длин линий. Частный масштаб площадей P определяется по произведению: P m n Cos .

Главные направления в данной точке карты могут совпадать с линиями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. В последнем случае a и b по известным m, n, и P вычисляют по формулам:

a+b =

a-b =

Значения m, n, a, b, P определяют в долях или в процентах от главного масштаба. Искажения возрастают с увеличением размеров картографируемой территории и по мере удаления от точек и линий нулевых искажений.

Значения m, n, а, b и р измеряют в процентах или в долях главного масштаба. Например, если а — 1,12, то это означает, что частый масштаб по направлению большой оси эллипса искажений составляет 1,12 (или 112%) от главного масштаба.  Если, например, а — 1 = 0,12, то это значит, что частный масштаб вдоль большой оси эллипса искажений преувеличен относительно главного масштаба на 0,12 (или на 12%). Точно так же частный масштаб может оказаться меньше главного, например, b =0,85 (85%), т.е. масштаб преуменьшен на 0,15 (на 15%).

В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты, — это линии и точки нулевых искажений. Для наиболее употребительных проекций существуют специальные вспомогательные карты, на которых показаны эти линии и точки, а кроме того, проведены изоколы — линии равных искажений длин, площадей, углов или форм. При определении размеров искажений в заданной точке можно воспользоваться картами изокол либо провести несложные измерения, а затем — вычисления по приведенным выше формулам.